Dezvoltarea creativităţii prin rezolvare şi compunere de probleme

Dezvoltarea creativităţii prin rezolvarea şi compunerea de probleme

Noul curriculum al disciplinei Matematică pune accent pe caracterul explorativ-investigativ al învăţării matematicii, pe valoarea formativă a contextelor problematice în care trebuie să se producă învăţarea şi pe raţionalizarea conţinuturilor la nivelul anului de studiu.

Obiectivele-cadru au un grad ridicat de generalitate şi complexitate şi marchează evoluţia copilului de-a lungul întregului ciclu primar. Acestea sunt:

1. cunoaşterea şi utilizarea conceptelor specifice matematicii;
2. dezvoltarea capacităţilor de explorare/investigare şi rezolvare de probleme;
3. formarea şi dezvoltarea capacităţii de a comunica utilizând limbajul matematic;
4. dezvoltarea interesului şi a motivaţiei pentru studiul şi aplicarea matematicii în contexte variate.

Matematica participă cu mijloace proprii la modelarea personalităţii atât sub aspect intelectual cât şi sub aspect estetic şi moral.

Din punctul de vedere al dezvoltării intelectuale, învăţarea matematicii exersează capacitatea de a judeca, ajută elevul să distingă adevărul ştiinţific de neadevăr, să-l demonstreze; antrenează organizarea logică a gândirii, ordonarea ideilor, recunoaşterea ipotezelor şi a concluziilor, îl învaţă pe copil să distingă diversele aspecte ale unei situaţii, să separe esenţialul de neesenţial; dezvoltă atenţia, antrenează memoria logică, exersează analiza şi sinteza, favorizează dezvoltarea imaginaţiei creatoare; dezvoltă spiritul critic, formează spiritul ştiinţific obiectiv şi stimulează dorinţa de cercetare.

Sub aspect estetic se dezvăluie frumuseţea matematicii exprimată prin formule, relaţii, figuri, demonstraţii, cultivă calităţi ale exprimării gândirii (claritate, ordine, conciziune, eleganţă), îl ajută pe elev să recunoască şi să aprecieze legătura formală a creaţiei artistice din echilibrul arhitectural, compoziţia artelor plastice, ritmuri şi structuri muzicale, frumuseţea şi organizarea naturii şi a tehnicii.

Din punct de vedere moral, matematica formează capacitatea aprecierii adevărului, obiectivităţii şi echităţii, creează nevoia de rigoare, discernământ şi probarea ipotezelor, dezvoltă nevoia de cunoaştere, de a înţelege. Se formează deprinderi de cercetare şi investigare, e stimulată perseverenţa.

Gândirea creatoare se dezvoltă în mod deosebit prin rezolvarea unor probleme care solicită strategii atipice, inventate şi prin compunerea de probleme. O problemă este sau nu creativă, în funcţie de vârsta, experienţa şi capacitatea intelectuală a elevului. Compunerea de probleme reprezintă o treaptă superioară de dezvoltare a gândirii creatoare, de legare a teoriei de practică. Pentru ca elevul să elaboreze textul unei probleme este necesar să găsească împrejurările corespunzătoare, să-şi imagineze acţiunea, să aleagă datele numerice în concordanţă cu realitatea, să stabilească soluţii aritmetice corespunzătoare între informaţiile date şi să formuleze întrebarea problemei.

În activitatea de învăţare a compunerii de probleme se pot folosi mai multe procedee, care pot fi grupate după forma de prezentare, strategiile şi mecanismele gândirii pe care le solicită.

1.      Compuneri de probleme după o acţiune sau o poveste

Se iau ca model activităţi zilnice sau povestiri. De exemplu, doi copii care au adus o vază cu flori pot da naştere ideii de creaţie a unei probleme. Acţiunea se va desfăşura în faţa clasei, florile vor fi numărate cu voce tare. Astfel se poate alcătui problema:

,,Ionuţ a pus în vază 3 garoafe şi Ana a mai pus încă 5.

Câte flori sunt în vază?”

2.      Compuneri de probleme după desene

Pot fi folosite desene viu colorate, cu imagini sugestive precum fructe, flori, figuri geometrice, animale, insecte ş.a. sub formă de tablouri sau desene pe tablă. Se sugerează, astfel, ce să cuprindă enunţul problemei şi ce numere vor constitui datele problemei.

Creativitatea se manifestă în transpunerea datelor din desen în relaţii matematice şi în găsirea a cât mai multe variante de probleme. Elevii trebuie stimulaţi să inventeze probleme cât mai originale sau să le complice.Se vor folosi şi desene care să indice operaţiile pe care trebuie să le efectueze. Astfel, pentru operaţia de adunare pot fi desenate amimale sau insecte care vin într-un grup, iar pentru scădere care pleacă. De asemenea, pot fi desenate elemente tăiate cu o linie pentru a indica operaţia de scădere.

O altă modalitate de compunere a unor probleme este reprezentarea unor numere în tabele la care se indică, de exemplu: cantitatea avută, cantitatea consumată, cantitatea rămasă. Cantitatea care trebuie calculată e marcată de semnul întrebării. Pe baza acestor informaţii se pot compune probleme cât mai variate.

3.      Compuneri de probleme după modelul unor probleme rezolvate anterior

Acest procedeu solicită elevii să compună probleme prin analogie, schimbând enunţul şi datele iar întrebarea să rămână aceeaşi. În clasa I, tendinţa este de a păstra enunţul şi întrebarea, elevii schimbând numai datele. Acum ei trebuie să fie îndrumaţi să aleagă şi alte domenii din care să se inspire.

În mod asemănător se cere elevilor să schimbe denumirea mărimilor şi să păstreze datele.

În clasele mai mari procedeul devine mobilizator, antrenează gândirea elevilor şi dezvoltă capacitatea de creaţie prin muncă independentă.

4.      Completarea de către elevi a datelor care lipsesc

Aceste probleme nu solicită în mod deosebit creativitatea. Elevii trebuie să înlocuiască spaţiile libere cu numere, având grijă să îndeplinească cerinţele problemei. Astfel, ei sunt puşi în situaţia de a înţelege că au dreptul să intervină în compunerea de probleme, solicitându-li-se iniţiativa.

Exemplu:

,,Un elev are de citit 120 de pagini în 3 zile. În prima zi a citit………pagini, în a doua zi………pagini, iar în a treia zi restul.

Câte pagini a citit în a treia zi?”

5.      Alcătuirea de probleme după întrebări date

Acestea pot fi abordate începând din clasa a II-a. Li se face cunoscută elevilor întrebarea şi li se cere să potrivească enunţul. Întrebările vor fi clare, cerând în mod precis o anumită operaţie: ,,Cât au împreună?”, ,,Cât a mai rămas?”, ,,Cu cât este mai mare?”, ,,De câte ori este mai mare?”, ,,Câte pagini a citit a doua zi?” etc.

Creativitatea va fi stimulată prin necesitatea găsirii unor domenii cât mai variate.

6.      Completarea (formularea) întrebării unei probleme

Folosind această formă de activitate în perioada în care elevii învaţă să desprindă din conţinutul problemei enunţul de întrebare, se realizează conştientizarea cunoştinţelor cu privire la elementele componente ale unei probleme, se conving elevii de necesitatea separării întrebării de enunţ în rezolvarea ulterioară a problemelor.

Găsirea de întrebări noi contribuie la dezvoltarea imaginaţiei, a gândirii divergente şi flexibile.

Exemplu:

,,Într-o cutie sunt 63 de creioane. În altă cutie sunt de 9 ori mai puţine.”

Pot fi formulate întrebările:

,,Câte creioane sunt în a doua cutie?!

,,Cu câte creioane sunt mai multe în prima cutie?”

,,Câte creioane sunt în cele două cutii?”

7.      Compuneri de probleme după formulă numerică dată

Această activitate va avea succes dacă elevii au fost obişnuiţi să transpună problemele în exerciţii după ce le-au rezolvat (formule numerice sau literale).

După ce au fost stabilite datele numerice şi relaţiile dintre ele, efortul gândirii se concentrează la transpunerea formulei numerice sub formă de problemă concretă. Posibilităţile sunt limitate deoarece se pune accent pe rigoarea ştiinţifică a transformării.

Exemple:

Se cere compunerea unor probleme după exerciţii date:

a)      70 kg + 20 kg =

b)      2 x 30 l =

c)      40 m : 2 =

d)      90 – 30 =

e)      338 + ( 338 – 127) =

f)        280 – (10 x 2) + 50 =

g)      Compuneţi o problemă cu numerele 197, 425, 200 astfel încât să aveţi în rezolvare o adunare şi o scădere.

La ultimul exemplu fiecare elev îşi poate  manifesta independenţa în gândire, spiritul inventiv, ingeniozitatea, spontaneitatea gândirii, originalitatea.

8.      Compuneri de probleme după formulă literală   

Mecanismul gândirii este acelaşi ca la alcătuirea problemelor după formulă numerică, dar se face un pas către abstractizare şi generalizare, adică spre gândirea specifică următoarei etape de dezvoltare intelectuală. Aici, elevii sunt puşi în situaţia de a înlocui literele cu numere adecvate.

Din clasa I se pot alcătui probleme după formule literale simple:

a + b = c; a – b = c; a + b + c = d; a + b – c = d; a – b + c = d; a + (b + c) = d; (a + b) + (c + d) = e; a + (a + b) =c.

În clasele mai mari formulele literale se vor complica:

a = 29

b = a + 14

c = (a + b) + 47

a + b + c = ?

sau

a = 3

b = a x 6

c = a x b

a + b + c = ?

sau

a = b x 5

b = 8

c = a – b

a + b + c = ?

9.      Compuneri de probleme după scheme

a) Scheme simple ce pornesc de la relaţiile dintre datele problemei, ajungându-se la întrebarea problemei (metoda sintetică):

5 mere	3 mere
Câte mere în total?

b) Scheme alcătuite pe calea metodei analitice (pornind de la întrebarea problemei): 10 + 6  ?             20 – 5  ?                                                                                       

c) Scheme fără indicarea operaţiilor:

***	**
?

Variante posibile: a + b =              ; a – b =

d) Scheme cu indicaţia operaţiilor şi simboluri:

	a		b		c

………………           ………………….

                         +                             – 

?

	?

a + b – c

e) Scheme grafice:

19

____________________

______________ _____4

10.     Complicarea treptată a unei probleme    

Acest procedeu se poate folosi în perioada în care se trece de la probleme simple la probleme mai complicate, în clasele a III-a şi a IV-a.

Se cere elevilor să adauge date şi să completeze enunţul, fiind solicitaţi să creeze relaţii, să-şi pună în valoare cunoştinţele despre realitatea practică.

11.   Compuneri de probleme de un anumit tip

Acest procedeu se poate folosi când elevii învaţă să rezolve probleme tipice, când ei înţeleg şi ştiu să folosească algoritmul de rezolvare a problemei, care să fixeze în mintea lor regula sau procedeul de calcul.

De exemplu: ,,Compuneţi o problemă care să se rezolve prin metoda figurativă.

12.     Rezolvarea problemelor prin mai multe metode

Acesta este un mijloc eficient de antrenare a gândirii creatoare, care necesită o gândire logică bine dezvoltată, pentru a putea vedea raţionamentul în întregime, pentru a putea găsi noi relaţii între aceleaşi cantităţi, mărimi, valori.

Fiecare variantă de rezolvare poate fi transformată în formulă numerică sau literală după care să se compună alte probleme.

13.     Probleme ale căror soluţii nu sunt unic determinate

Acestea se întâlnesc în viaţa practică, în producţie, unde se cere găsirea tuturor posibilităţilor, compararea lor şi luarea unor decizii.

Copiii trebuie obişnuiţi să caute mai multe variante de rezolvare, respectând condiţiile impuse. Acest tip de probleme duce la dezvoltarea gândirii probabilistice.

De exemplu:

a) Scrieţi toate numerele posibile a căror sumă să fie 9.

b) Găsiţi cât mai multe soluţii pentru exerciţiile: a + b = 6, a – b = 4, unde a<10. Alegerea valorilor unei necunoscute nu se face la întâmplare, ci trebuie să se încadreze în cerinţele impuse de condiţiile date. Lucrurile se pot complica introducându-se condiţii suplimentare.

c) Introducerea variabilelor în operaţii cu numere

Se urmăreşte dezvoltarea spiritului de independenţă, consolidarea cunoştinţelor referitoare la numere, operaţii cu numere, relaţii dintre numere.

Varietatea exerciţiilor de acest fel contribuie la formarea deprinderilor de alcătuire a problemelor creative în care să se utilizeze proprietăţile operaţiilor (comutativitatea), scrierea numerelor ca o sumă sau diferenţă (simetria egalităţii), utilizarea parantezei în cazul adunării unui număr cu o sumă sau o diferenţă (asociativitatea).

De exemplu exerciţiul de forma 5 + a =  se poate rezolva dacă lui ,,a” i se dau anumite valori.

d) Exerciţii de aflare a numărului necunoscut dintr-o relaţie de egalitate sau inegalitate

Exemple:

Găsiţi numărul ce trebuie scris, astfel încât egalitatea să fie adevărată:

….  +   2 =   8

40 + …. = 90

…. – 50 = 20

e) Exerciţii de sinteză cu mai multe operaţii:

● Găsiţi numerele potrivite astfel încât propoziţiile să fie adevărate:

5 + …. + 1 = 9

8 = 4 + 1 + ….

90 + 10 – …. = 3

● Rezolvaţi exerciţiile aflând valoarea lui a:

1 + 2 + a < 7

a + 4 – 3 = 2

● Ce numere putem scrie în locul lui n astfel încât să fie adevărată inegalitatea?

n + 14 < 19

f) Exerciţii pentru aflarea semnului operaţiei:

Completaţi spaţiile punctate cu unul dintre semnele învăţate, pentru ca relaţiile să fie adevărate:

2 x (3 + 6) …. 2 x 3 + 2 x 6;

17  –  (2 + 9)…. 17 – 2 + 9.

14.    Probleme în care căutarea soluţiei se face prin încercare-eroare-reglare

Pentru rezolvarea unei astfel de probleme, elevul trebuie să aleagă dintre mai multe variante pe cele mai potrivite. Pentru aceasta trebuie să formuleze ipoteze, să analizeze, să tragă concluzii, să descopere calea ce duce la rezultatul căutat. În această activitate se manifestă gândirea probabilistică şi cea deductivă.

Exemplu:

Se dă exerciţiul: 5 x 4 : 2 + 8 – 2

Aşezaţi corespunzător paranteze pentru a obţine pe rând, rezultatele: 40; 16; 48.

15.    Probleme care se rezolvă prin strategii atipice descoperite de elevi

Pentru rezolvarea acestor probleme elevii trebuie să se îndepărteze de tentaţia de a aplica modele cunoscute. Ei trebuie să găsească strategia de rezolvare adecată specificului problemei. În această categorie se vor întâlni mai multe probleme de genul celor prezentate la punctele anterioare. Rezolvarea lor solicită flexibilitatea gândirii şi capacitatea de adaptare mentală la noua situaţie descoperită.

Exemple:

a)      Scrieţi cel mai mic număr natural de 3 cifre diferite.

b)      Care este cel mai mare număr natural de 3 cifre egale?

c)      Efectuaţi înmulţirile într-o ordine care să uşureze calculele:

5 x 21 x 26 =     ; 25 x 5 x 6 x 12 =

16.    Probleme specifice de logică şi perspicacitate

Acest tip de probleme este mai dificil. Este necesară o reflectare mai atentă asupra conţinutului, selectarea cu precizie a întrebării, reţinerea informaţiilor care ajută la rezolvarea problemei.

Se dezvoltă gândirea logică, atenţia, capacitatea de a descoperi pistele false, spiritul de iniţiativă şi observaţia, deprinderea de a lucra corect şi rapid.

Exemple:

a)      Câte degete sunt la o mână? Dar la două mâini? Dar la 10 mâini?

b)      O punte rezistă la cel mult 70 kg. Un om care avea 69 kg şi 800 g şi ducea în mână două mere de 200 g fiecare, a traversat puntea dintr-o dată , fără să se rupă. Cum a procedat?

Răspuns: Din momentul în care a păşit pe punte şi până a părăsit-o, a jucat merele aruncându-le în aer, în aşa fel încât avea în mână doar un măr, celălalt fiind în aer.

Astfel nu a depăşit greutatea admisă.

c)      Cum am putea scădea pe 22 din 20, ca să obţinem 88?

Răspuns:

XX –     (cifre romane)

2 2

8 8

d)      Zboară un cârd de gâşte: o gâscă în faţă, două în spate, două în faţă, una între două şi trei în şir.

Câte zboară în total?

Sfera procedeelor pentru compunerile de probleme şi rezolvarea lor prin muncă independentă, nu este limitată. Scopul rămâne acelaşi: dezvoltarea creativităţii gândirii elevilor, asigurarea succesului spre domeniul cercetării ştiinţifice care se bazează, în primul rând, pe matematică.

Recomandări: Amintiri, Androxa, Colţu cu muzică, Filumenista, Florina Lupa, G1b2i3, Gabrielle, Ioan Usca, Robert, Rokssana, Schtiel, Shayna, Ulise al II-lea, Vizualw, Viaţa în imagini,   Zamfir T.